Rainyvale in Sunnyvale...

언제나처럼(!) 미친짓을 아무렇지도 않은듯 저질러 버린 이명박 청와대와, 그 공범인 기자들과, 용감할 뻔 했다가 꼬리내려 버린 YTN의 합동 닭짓 덕에, 난데없이 옛날(?) 영화 '마이너리티 리포트 (Minority Report)'가 세간의 화제가 되고 있다. 이 글은 그들의 닭짓과는 아무런 관련도 없으며, 정치와는 아무 관련도 없고, 100% 과학과 기술에 대한 포스팅이 되겠다.

마이너리티 리포트는 내게는 좀 특별한 영화인데... 아내와 연애시절 처음 본 영화라든지, 처음 손 잡았던 영화라든지, 그런 로맨틱한 특별함은 아니고... ^^ 내 논문 세미나의 대부분은 이 영화의 장면을 보여 주는 것으로 시작했기 때문이다. (내가 처음 이 영화를 발표할 때 써먹기 시작했던 것 같은데, 요새는 관련연구를 하는 사람들은 너도 나도 다 이 영화를 이용하는 듯 하다.) 왜냐면, 내 논문 주제가 이 영화에 나오기 때문이었다. (그렇다고 해서, 내 논문 주제가 '미래예측' 같은 것은 아니었고... ^^)

다들 알겠지만, 마이너리티 리포트에서는 미래를 예지하는 능력을 가진 프리코그(Precog) 세 사람이 어떤 시설 안에 수용되어 미래에 벌어질 살인사건을 예측한다. 프리코그들은 아래 사진처럼 거의 수면 상태로 누워있으면서 꿈을 꾸듯 미래를 본다.

하지만, 이들은 자신들이 본 미래를 말하지 않는다. 대신에, 그들의 생각을 자동으로 읽어들이는 기계가 있고, 이 기계는 그 생각을 천장 위의 스크린에 영상으로 비춰 주고, 공에다 미래의 살인자의 이름을 새겨서 알려준다. 그러면, 대체 머리속의 생각을 읽어들이는 이 기계는 어떤 방식으로 동작하는 것일까? 위 사진을 잘 확대해 보면 머리에 붙어있는 무슨 선 같은 것들이 보인다. 이것이 그 머리 속을 읽어들이는 기계의 센서 부분이고,그 센서는 사실은 광섬유이다. 

Wally (프리코그들을 수용해 놓은 시설을 관리하는 실무자)는 다음과 같은 대사에서 그 기계의 동작원리를 설명한다.

그러니까, 광 단층촬영(optical tomography)이라는 방법으로 하는데, 어떻게 하느냐 하면, 빛을 머리에 투사시킨 후에 그 일부가 두뇌 세포(조직)에 흡수된 후에 그 빛을 측정해서 그것으로부터 두뇌활동을 알아낸다는 것이다. (사실 보다 엄밀히 말한다면 빛이 흡수만 되는 것이 아니라 엄청나게 산란되기도 한다.) 두뇌활동으로부터 나오는 전자기적 신호(뇌파)를 측정하는 것은 많이들 봐 왔지만, 두뇌활동으로부터 파생되는 광학적 변화(빛의 흡수, 산란 등)를 측정하는 광단층촬영이라는 것은 매우 생소한 개념이 아닐 수 없다.

영화에서 이 신기한 기술은 한 번 더 나온다. 톰 크루즈가 프리코그 중 한 사람을 납치해서 자신이 정말 그 살인 용의자로 예언이 되었는지를 확인하려는 장면이 있는데, 탐 크루즈는 프리코그의 머리에 광섬유들을 부착해서 광 단층촬영을 실행하고 아래의 두번째 사진에서처럼 그 생각을 영화스크린처럼 뽑아낸다. 아래 사진에서 머리에 붙어 있는 광섬유들, 광섬유들에서 뿜어져 나오는 빛들에 주목하기 바란다.  

사실 이런 기계가 가능하려면 두뇌 속에서의 빛의 흡수,산란 등을 정확하게 알아내는 공학적 기계장치 뿐만 아니라, 두뇌의 '활동'과 '생각' 사이의 정확한 상관관계를 알 수 있는 '심리학적'(?) 지식이 필요하기 때문에, 가까운 시일에는 (어쩌면 영원히) 불가능할지도 모른다. 하지만, 뇌의 특정 부위가 많이 활동한다면 그 부위에 공급되는 혈액에 산소가 많이 포함된 헤모글로빈이 많이 포함되고 (이것이 또다른 뇌영상 기술인 functional MRI의 기본원리이다), 산소가 많이 포함된 헤모글로빈은 그렇지 않은 것들과는 빛깔(광학적 성질)이 다르기 때문에 (동맥 피와 정맥 피의 색깔 차이를 상기해 보면 되겠다), 뇌를 투과해 가는 빛의 흡수, 산란 등에 변화를 주게 되고, 이런 변화로부터 두뇌활동을 추적하는 것은 충분히 가능한 일이라 할 수 있겠다.

요새 병원에 가면 CT, MRI, PET같은 의료영상기기들을 많이 보게 된다. 이 기계들은 엑스선, 전자기파, 방사선 등이 인체를 쉽게 직선으로 투과할 수 있다는 점을 이용한 기계들이다. 하지만, 광단층촬영, 즉 빛(가시광선, 적외선)을 이용한 의료영상기기는 아마 금시초문일 것이다.

이 광단층촬영이라는 아이디어가 과연 어떤 괴짜 시나리오 작가의 탁월한 상상력 덕분일까? 놀라운 사실은 이런 공상과학영화에나 나올법한 황당한 광단층촬영이라 하는 것이 실제로 존재하고 있으며 이미 1980년대부터 대학이나 연구소에서 연구를 시작했다는 것이다. 아래 사진은 광단층촬영의 선구자 중 한사람인 Britton Chance 할아버지(University of Pennsilvania 화학과 교수)의 머리 위에 광단층촬영을 위한 측정장치를 달고 찍은 사진이다. 사실은 광단층촬영은 뇌영상 뿐 아니라 암 진단용 영상에도 매우 큰 잠재력을 갖고 있어 최근 의료영상 학회에 가 보면 분자영상 섹션에서 매우 활발히 논의되는 것을 알 수 있다.

그런데, 과연 광단층촬영이 가능한가? 엑스선은 사람 몸을 상당히 잘 투과하기 때문에 엑스레이 사진도 찍고 CT(Computed Tomography)도 만들 수 있다. 하지만, 상식적으로 사람 몸은 불투명하다. 즉, 몸 속에 들어간 빛이 모조리 몸 안에서 흡수되거나 산란되어 버린다는 말이다. 그렇다면 어떻게 사람 몸을 투과해 나온 빛을 측정하고, 어떻게 광단층촬영이 가능한단 말인가?

사실은 사람 몸이 일반적인 용도에서는 불투명하다고 보는 것이 옳지만, 100% 완전히 불투명한 것은 아니다. 빛이 100% 막히는 것은 아니라는 것이다. 예를 들어, 손을 펴고 백열등에 가까이 대 보면 손이 발그스름하고 밝게 보이는 것을 볼 수 있다. 즉, 백열등 불빛이 손을 뚫고 (엄청난 산란 끝에) 지나온 것이다. 즉, 어느 정도 이하의 두께라면 투사된 빛 중에서 극히 일부이긴 하지만 광센서로 측정이 가능할 정도의 유의미한 양의 빛이 투과될 수 있다는 뜻이다. 이것이 광확산촬영을 가능하게 한다. 하지만, 또 하나 중요한 것은, 발그스름하게 손 사이로 전등 빛이 비치긴 하지만, 손가락뼈 모양을 제대로 볼 수는 없다. 즉, 빛이 손에서 직진하는 것이 아니라 그 안에서 산란(scattering)되고 확산(diffusion)된다는 뜻이다.이것은 광확산촬영을 어렵게 만드는 요인이다.

예를 들어, 아래 사진을 보자. 이 사진은 플라스틱 병 안에 우유와 물을 섞어 넣고서 그 안에 무엇인가를 담궈둔 것을 찍어서 밝기 차이를 더 두드러지게 보정한 것이다. 저 안에 뭐가 있을까? 그것을 광확산촬영으로 알아낼 수 있을까?

어떤가? 광단층 촬영이 가능할 것이라는 생각이 들지 않은가? 이 예는 어디까지나 가장 간단하고 값싼 장비를 이용한 예일 뿐이고, 훨씬 더 복잡하고 어려운 물체에 대해서도 광단층촬영 연구는 많이 진행되어 있다.


자... 이제 우리는 광단층촬영에서는 영상을 얻기 위해서 빛을 투과시킨 후에 그 빛을 측정한다는 것을 알았다. 그렇다면, 그 측정된 빛에서 영상을 어떻게 얻는다는 것일까? (여기부터는 좀 어려운 얘기이다.)

광단층촬영을 설명하는 것보다는 CT를 먼저 설명하고 나중에 그 차이를 설명하는 것이 낫겠다. 아래 그림(출처: The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing)을 보자. (실제로는 이런 무식한 방법이 아니라 무척 영리한 방법을 쓰는데, 여기서는 개념설명을 위해서 단순화한다. 또 한가지, 원래 CT는 입체를 평면에 투사하여 찍지만, 설명의 편의를 위해서 평면을 직선 위에 투사하여 찍는 것으로 그려져 있다.) 우리는 저 회색 네모 속을 알고 싶다. 그래서, CT에서는 바깥에서 여러방향(view 1, 2, 3, ...)에서 엑스레이를 찍어서, 엑스선이 흡수된 정도를 측정한다. 그 측정된 결과가 각 view에서의 그래프들이다. 엑스레이 사진은 다들 잘 알겠지만, 뼈처럼 엑스선을 많이 흡수한 부분을 투과한 부분은 밝게, 그렇지 않은 부분은 어둡게 나온다. 여기까지가 광단층촬영에서 빛을 쏘고 흡수,산란된 후의 그 빛을 측정하는 과정에 대응되는 CT의 측정 과정이라고 생각하면 되겠다.

CT의 데이터 취득

그러면 CT에서 이 여러 각도에서의 엑스선 사진으로부터 어떻게 그 내부 구조를 알아낼까? 여러가지 방법이 있지만, 한 가지 방법은 아래 그림처럼 그 취득방향으로 반대로 투사시키는 것이다 (backprojection). 여러 방향에서 backprojection시킴에 따라 원래의 하얀 물체가 보이게 된다. (이 초보적 방법은 하얀 물체가 뿌옇게 보이는 단점이 있는데, 물론 보다 좋은 방법을 쓰면 더 선명하게 보인다.)

CT의 영상 생성

자... X선을 이용한 CT의 영상 생성 원리를 알았으니, 이제 빛을 이용한 광단층촬영으로 다시 돌아와 보자. 광단층촬영의 영상생성은 CT에 비해서 매우매우 복잡하고 어려우며, CT에서 쓰인 backprojection를 쓸수도 없다. 그 이유는 바로 빛의 성질에 있다.

• 엑스레이는 몸 속에서 대체적으로 직선운동을 한다. 하지만, 빛은 몸 속에서 직선운동을 하지 않고 사방으로 흩어진다. 아래 그림은 빛의 인체 내에서의 이동경로를 시뮬레이션한 것이다. 위의 검은 점들이 빛을 쏜 위치와 측정한 위치이고, 각 점에서의 색깔은 쏜 빛 중에서 측정한 위치까지 도달한 빛 중에서 얼마나 많은 빛들이 지나갔는가 하는 확률을 나타낸다. 빛은 인체 내에서 산란되기 때문에 직선으로 운동해서 도달하는 것은 거의 없고, 그림처럼 빛을 쏜 위치와 측정한 위치가 위치할 경우에는 오히려 바나나 모양으로 휘면서 도달하는 것이 많다. 또한, 빛(광자들)이 모두 비슷한 경로를 따라 이동하는 것이 아니라 제 각각의 경로를 따라서 이동한다.  (심지어는 저 바깥으로 빙빙 돌아가는 빛도 존재한다.) 그 과정은 거칠게 말하자면, 엑스레이처럼 모두가 직진하는 것과 물 속에 잉크방울을 떨어뜨려서 제멋대로 확산해 가는 과정의 중간쯤 되고, 그것을 물리학과 수학을 이용하여 모델링하면 편미분방정식을 통해 근사적으로 기술될 수 있다.
  
  
  
  (Imaging the body with diffuse optical tomography, IEEE Signal Proc. Mag. 2001에서 수정)
  
• 엑스레이는 상당량이 몸을 투과해서 필름이나 CCD/CMOS 검출기에 검출이 되기 때문에 그 신호대 잡음비가 비교적 높다. 빛은 대부분이 몸 속에서 흡수되고 극히 일부만 검출되기 때문에 그 신호대 잡음비가 매우 낮다. 좀 더 쉽게 말하면, 디지탈 카메라로 사진을 찍을 때 노출이 낮으면 (빛을 적게 검출시키면) 사진에 노이즈가 많이 끼는 것처럼, 광 단층촬영에서는 극히 소량의 빛만 인체를 통과하여 검출되므로, 그 측정결과에 노이즈가 아주 심하다.
  

자... 그럼 저 광확산영상 영상생성 문제가 왜 어려운 문제인지에 대해 간단한, 하지만 뜬구름 잡는 수학적 설명을 좀 해 보자.

1. 일단, 행렬 A와 벡터 x의 곱셈을 생각해 보자. 이렇게 Ax를 계산하는 것은 매우 쉽다. 위에서 "CT의 데이터 생성"이 바로 이 과정에 해당되는데, 벡터 x는 물체 내의 각 점들에서 엑스레이에 대한 흡수성이고 A는 엑스레이와 측정 장비 사이의 설정을 모델링한 행렬이고, Ax를 계산하면 측정 장비에서 얻은 엑스레이에 대한 측정값이 대략 얼마일지 알 수 있다. 하여간 행렬과 벡터의 곱셈은 고등학교에서 가장 쉬운 수학에 해당되는 과정이니 아주 쉬운 셈이다. (사실 뭐가 A이고 뭐가 x인지를 예를 들어 자세히 설명하면 훨씬 쉬운 설명이 될텐데... 내가 워낙 게을러서... 나중에... -.-)
   
2. 이번에는 측정 장비에서 얻은 엑스레이에 대한 측정값들이 벡터 y로 주어졌다고 하자. 이 측정값에서 물체 내의 각 점들에서 엑스레이에 대한 흡수성, 즉 벡터 x를 알고자 한다. 이 과정은 1번보다는 좀 더 어렵지만 개념적으로는 별로 어렵지 않다. 왜냐면, 연립일차방정식 y= Ax 를 풀어서 x를 구하는 것에 해당하고, 이것은 역시 고등학교에서 가장 쉬운 수학에 해당된다. (사실 개념적으로는 쉽지만, 알고 보면 완전히 단순한 문제는 아니다.) 특히나 엑스선은 직진하기 때문에, A의 원소 중에서 어떤 측정값에 그 엑스레이가 지나가는 위치에 해당되는 A의 원소만이 0이 아니기 때문에, A의 원소 중 대부분은 0이 되고 따라서 계산은 훨씬 쉬워진다. 게다가, Fourier Slice Theorem이라는 훌륭한 정리가 있어서 계산량은 훨씬 더 줄어들게 된다. (참고로, 1번처럼 자연현상을 기술하는 것을 순방향 모델(forward model)이라 하고, 2번처럼 그것의 반대방향을 원하는 문제를 역방향 문제 (inverse problem)이라고 한다.)
3. 이번에는 y=Ax처럼 선형연립방정식이 아니라 y=f(x)처럼 비선형 연립방정식에서 x를 구하는 경우를 보자. 즉, 2차 이상의 다항식, 삼각함수, 지수함수 등이 섞인 경우이다. 선형연립방정식과는 달리 무지무지 어려워진다.
   
4. 이번에는 y=f(x)의 비선형연립방정식을 푸는 문제이긴 한데, f()의 형태가 x에 따라서 달라지는 경우를 생각해 보자. 당연히 더 어렵다. 앞으로는, 편의상 f()가 x에 따라 달라진다는 것을 나타내기 위해서 f_x()라고 표시하기로 하자. 
   
5. 이번에는 y=f_x(x)의 비선형 연립방정식을 푸는 문제이긴 한데, f_x()가 2차 이상의 다항식, 삼각함수, 지수함수처럼 눈에 잘 보이는 형태로 되어 있는 경우가 아니라, f_x()가 편미분방정식의 계수와 해의 관계로 나타내지는 경우를 생각해 보자. 당연히 더 어렵다. 이것이 일반적으로 광단층촬영에서 직면하는 수학문제이다. y=f_x(x)에서 y는 빛을 측정한 값, x는 각 위치에서의 빛의 흡수,산란의 정도이고, 빛의 흡수,산란을 나타내는 편미분 방정식에서 x는 그 계수, y는 그 해에 해당한다.
   
6. 이번에는 y=f_x(x)의 비선형 연립방정식을 푸는 문제이긴 한데, f_x()가 편미분방정식의 계수와 해의 관계로 나타내지는 경우이면서, 가지고 있는 측정값 y의 원소의 갯수보다 알고자하는 x의 원소의 갯수가 더 많은 경우를 생각해 보자. 우리가 선험적으로 알고 있는 지식을 이 연립방정식에 가미하지 않고서는 해결이 불가능하기 때문에 당연히 더 어렵다. 대부분의 광단층촬영은 이런 어려움 역시 가지고 있다.
   

재밌는 사실은, 이러한 수학문제가 광단층촬영에서만 나타나는 특이한 종류의 문제는 아니라는 것이다. 대기의 운동, 해류의 운동, 전자기적 현상, 유체역학 등등 자연의 수많은 물리현상들은 편미분방정식으로 기술되기 때문에, 사실 비슷한 수학적 문제들은 굉장히 많다. 예를 들면, 정상세포와 암세포는 전기저항(보다 엄밀히 말하면 impedence)가 다르기 때문에 몸 안의 전기저항 분포의 차이를 영상으로 만들어 내려는 의료영상기법도 있는데, 결국 귀결되는 수학문제는 역시 저 위의 6번문제이다. 바다 위에서 배가 돌아다니면서 해류의 속도, 온도 등등을 측정해서 바다 수면 한참 아래의 해류 운동까지 계산해 내는 것도 이런 문제이고... 귀신씨나락 까먹는 수학문제인 듯 하지만, 그 응용분야는 셀 수도 없이 많다.

이상, rainyvale의 "영화 속의 과학 시리즈" 첫편이자 마지막편이었습니다. ^^